Cálculo Semana 07

Propriedades dos Limites

1ª)    

   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.

   Exemplo:

   

---

2ª)    

   O limite do produto é o produto dos limites.

   Exemplo:

   

---

3ª)    

   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

   Exemplo:

   

---

4ª)    

   Exemplo:

   

---

5ª)    

   Exemplo:

   

---

6ª)    

    Exemplo:

   

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7ª)    

   Exemplo:

   

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8ª)    

   Exemplo:

   

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

    

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

   

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x⁴ é .
      
2. Se f(x) = x³, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x²é f(x) = x³.
      
3. Se f(x) = x³ + 4, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x² é f(x) = x³ + 4.

   

   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x³ quando x³+4 são integrais indefinidas para 3x². A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x² é  x³+C, onde C é uma constante real.

 Propriedades das integrais indefinidas

    São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.    , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª.   , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª.    , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

 Integração por substituição

Seja expressão . 

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

  INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a atéb, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

• a é o limite inferior de integração;
• b é o limite superior de integração;
• f(x) é o integrando.

                Se   representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 

               Se  representa a área entre as curvas, para