Cálculo 2 Semana 7

Nestas últimas aulas foram feitas revisões dos assuntos abordados nas aulas anteriores, no formato de revisão.

Videoaula 25 - Revisão dos conceitos estudados e exercícios (parte 1) - Nesta aula foram revisados conceitos sobre gráficos e derivadas parciais de funções ( As derivadas parciais medem a taxa de variação de f(x,y) nas direções dos eixos coordenados), Curvas de nível, Vetor Gradiente (a maior taxa de variação ocorre na direção do Gradiente), Derivada rotacional, Diferencial total, Pontos máximos e mínimos local, Plano tangente.

Videoaula 26 - Revisão dos conceitos estudados e exercícios (parte 2) – Nesta aula foram revisados as aplicações de derivadas (variação de temperatura, velocidade, trajetória, etc), reta tangente, Curvas no espaço, Regra da Cadeia, Plano e vetores tangentes.

Videoaula 27 - Revisão dos conceitos estudados e exercícios (parte 3) – Nesta aula foram revisados análises e conceitos de Curva de nível (A curva de nível k da função f= f(xy) pe o conjunto de pontos do domínio em que f tem o valor constante igual a k), Limites, Continuidade, Regra da Cadeia e Gradiente (O vetor Gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível).

Videoaula 28 - Revisão dos conceitos estudados e exercícios (parte 4) – Nesta última aula continua-se revisando alguns conceitos como Teorema de Fubini, Cálculo de Integrais Duplas, Cálculos de Volume, Coordenadas Polares, Centro de Massa, Momento de Inércia.

Cálculo Semana 4

Cálculo Semana 03

Cálculo 2 Semana 02

Cálculo 2 Semana 01

Cálculo Semana 07

Propriedades dos Limites

1ª)    

   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.

   Exemplo:

   

---

2ª)    

   O limite do produto é o produto dos limites.

   Exemplo:

   

---

3ª)    

   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

   Exemplo:

   

---

4ª)    

   Exemplo:

   

---

5ª)    

   Exemplo:

   

---

6ª)    

    Exemplo:

   

---

7ª)    

   Exemplo:

   

---

8ª)    

   Exemplo:

   

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

    

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

   

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x⁴ é .
      
2. Se f(x) = x³, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x²é f(x) = x³.
      
3. Se f(x) = x³ + 4, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x² é f(x) = x³ + 4.

   

   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x³ quando x³+4 são integrais indefinidas para 3x². A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x² é  x³+C, onde C é uma constante real.

 Propriedades das integrais indefinidas

    São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.    , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª.   , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª.    , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

 Integração por substituição

Seja expressão . 

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

  INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a atéb, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

• a é o limite inferior de integração;
• b é o limite superior de integração;
• f(x) é o integrando.

                Se   representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 

               Se  representa a área entre as curvas, para