Exercício
1
Decida se cada
afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
a. Todo inteiro
ímpar e positivo pode ser escrito como soma de dois números primos.
R:
Falsa. Não procede pois a não são todos os números inteiros que
podem ser escritos com a soma de dois números primos. Exemplo: O 1 é
inteiro ímpar e positivo.
b. 3 ≤ 23
R:
Verdadeira. Pois uma das afirmações está correta, logo, toda
afirmação é verdadeira.
c. 3 < 23
R:
Verdadeira. Pois a afirmação está correta.
d. Existe um número
inteiro x tal que xy = x, para qualquer inteiro y.
R:
Verdadeiro. Se x = 0.
e. Existe um número
inteiro x tal que x ≤ 4 ou x2 > 30.
R:
Verdadeiro. Pois ambas as afirmações estão corretas.
f. Para todo número
inteiro x, temos x ≤ 4 ou x2 > 30.
R:
Falso. Pois as duas afirmações estão incorretas.
g. Existe um número
inteiro x tal que x ≤ 4 e x2 > 30.
R:
Falso. Não existe um inteiro menor ou igual a 4 que seu quadrado
seja maior que 30, logo, uma das afirmações está incorreta.
h. ⩝Para todo x ∈
Z, x > 1 ⇒ x ≥ 1.
R:
Falso. O conjunto Z, ou seja, inteiros, também pertencem os números
negativos. Logo, a afirmativa é falsa.
Exercício
3
Suponha que a
implicação abaixo seja verdadeira.
Se Nadir vai o
deserto, sofre com o calor.
Baseando-se
unicamente na informação de que a implicação é verdadeira, o que
é possível deduzir em cada caso abaixo?
a. Nadir está com
calor. Posso deduzir que foi ao deserto?
R:
Sim.
b. Nadir não está
com calor. Posso deduzir que não foi ao deserto?
R:
Sim.
c. Nadir não foi ao
deserto. Posso deduzir que não está com calor?
R:
Sim.
d. Nadir foi ao
deserto. Posso deduzir que sofre com o calor?
R:
Sim.
Exercício
4
Suponha que a
sentença abaixo seja falsa. Baseando-se unicamente nisso, o que é
possível deduzir em cada caso?
Ernesto já
viajou para a Argentina e para o Paraguai.
a. Posso deduzir que
Ernesto não foi para a Argentina?
R:
Não.
b. Posso deduzir que
Ernesto não foi nem para a Argentina e nem para o Paraguai?
R:
Sim.
c. Posso deduzir que
Ernesto não foi para (pelo menos) um dos dois países?
R:
Sim.
Exercício
5
Na região onde
cada habitante sempre mente ou sempre fala a verdade, determine, em
cada caso, se é possível decidir se o habitante que responde é um
mentiroso ou uma pessoa que sempre fala a verdade.
a. Você é
mentiroso?
Resposta: não.
(Ainda não é possível)
b. A terra é o
centro do universo?
Resposta: não.
(Ainda não é possível)
c. Se eu te
perguntasse ontem se a terra é o centro do universo, o que teria
respondido?
Resposta: não. (É
possível)
d. Se eu te
perguntasse ontem se você é mentiroso, o que teria respondido?
Resposta: sim. (É
possível)
Exercício
6
Uma dificuldade ao
lidar com implicações do tipo A ⇒ B é o fato de que a implicação
ser verdadeira não acarreta que A seja verdadeira.
Veja o exemplo:
Se isto que vemos é
um disco-voador alienígena, então existe vida inteligente fora da
Terra.
→ A: isto que
vemos é um disco-voador alienígena
→ B: existe vida
inteligente fora da Terra
O raciocínio está
correto e a implicação é verdadeira. Mas isso não significa que a
afirmação A seja verdadeira. Mesmo não sabendo se A é verdadeiro
ou falso, sabemos que a implicação é verdadeira, pois se A for
verdadeiro, B também será. E se A for falsa? Não importa, se A for
falsa a implicação é verdadeira!
Lembre-se, A ⇒ B é
verdadeira se B é verdadeira sempre que A for verdadeira ou se A for
falsa. Reveja a tabela verdade da implicação na aula 3.
Na matemática,
quando sabemos que A é verdadeira e que A ⇒ B é verdadeira,
deduzimos que B é verdadeira. Se A é falsa e A ⇒ B e é
verdadeira, não deduzimos nada.
A contrapositiva de
A ⇒ B é nãoA ⇒ nãoB. O valor verdade de ambas é o mesmo, ou
seja, são equivalentes, uma é verdadeira se, e somente se, a outra
também é.
A contrapositiva da
sentença acima é:
Se não existe vida
inteligente fora da Terra, então isto que vemos não é um
disco-voador alienígena.
Cada sentença
abaixo pode ser escrita na forma A ⇒ B. Determine quem é A e quem
é B e escreva a contrapositiva de cada sentença. Escreva também B
⇒ A e repare como o sentido é bem diferente.
a. Se Papai Noel
existe, então eu ganho o carrinho no Natal.
R:
A= Eu ganho o carrinho no Natal.
B
= Papai Noel existe
Contrapositiva:
Se Papai Noel não existe, então eu não ganho o carrinho no Natal.
b. Quando chove
muito, o trânsito fica ruim.
R:
A= quando chove muito
B=
o trânsito fica ruim
Contrapositiva
: O trânsito não fica ruim quando não chove muito.
c. Se é bruxa,
então tem verruga no nariz.
R:
A= É bruxa
B=
Tem verruga no nariz
Contrapositiva
= Se não tem verruga no nariz, então não é Bruxa.
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