Cálculo Semana 07

Propriedades dos Limites

1ª)    

   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.

   Exemplo:

   

---

2ª)    

   O limite do produto é o produto dos limites.

   Exemplo:

   

---

3ª)    

   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

   Exemplo:

   

---

4ª)    

   Exemplo:

   

---

5ª)    

   Exemplo:

   

---

6ª)    

    Exemplo:

   

---

7ª)    

   Exemplo:

   

---

8ª)    

   Exemplo:

   

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

    

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

   

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x⁴ é .
      
2. Se f(x) = x³, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x²é f(x) = x³.
      
3. Se f(x) = x³ + 4, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x² é f(x) = x³ + 4.

   

   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x³ quando x³+4 são integrais indefinidas para 3x². A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x² é  x³+C, onde C é uma constante real.

 Propriedades das integrais indefinidas

    São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.    , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª.   , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª.    , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

 Integração por substituição

Seja expressão . 

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

  INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a atéb, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

• a é o limite inferior de integração;
• b é o limite superior de integração;
• f(x) é o integrando.

                Se   representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 

               Se  representa a área entre as curvas, para 

Biologia Semana 07

Biologia (do grego βιος - bios = vida e λογος - logos = estudo, ou seja, o estudo da vida) é a ciência que estuda os seres vivos. Debruça a origem, evolução, o funcionamento dinâmico dos organismos desde uma escala molecular subcelular até o nível populacional e interacional, tanto intraespecífica quanto interespecificamente, bem como a interação da vida com seu ambiente físico-químico. O estudo destas dinâmicas ao longo do tempo é chamado, de forma geral, de biologia evolutiva e contempla o estudo da origem das espécies e populações, bem como das unidades hereditárias mendelianas, os genes. A biologia abrange um espectro amplo de áreas acadêmicas frequentemente consideradas disciplinas independentes, mas que, no seu conjunto, estudam a vida nas mais variadas escalas.

A biologia molecular é o estudo da biologia ao nível molecular, sobrepondo-se em grande parte com outras áreas da biologia, nomeadamente a genética e a bioquímica. Ocupa-se essencialmente das interacções entre os vários sistemas celulares, incluindo a correlação entre DNA, RNA e a síntese proteica, e de como estas interacções são reguladas.

A biologia celular estuda as propriedades fisiológicas das células, bem como o seu comportamento, interacções e ambiente, tanto ao nível microscópico como molecular. Ocupa-se tanto de organismos unicelulares como as bactérias, como de células especializadas em organismos multicelulares como as dos humanos.

Compreender a composição e o funcionamento das células é essencial para todas as ciências biológicas. Avaliar as semelhanças e as diferenças entre os diferentes tipos de células é particularmente importante para estas duas disciplinas, e é a partir destas semelhanças e diferenças fundamentais que emerge um padrão unificador que permite que os princípios deduzidos a partir dum tipo de célula sejam extrapolados e generalizados para outros tipos de célula.

A genética é a ciência dos genes, da hereditariedade e da variação entre organismos. Na investigação moderna, providencia ferramentas importantes para o estudo da função dum gene particular e para a análise de interações genéticas. Nos organismos, a informação genética normalmente está nos cromossomas, mais concretamente, na estrutura química de cada uma das moléculas de DNA.

Os genes codificam a informação necessária para a síntese de proteínas que, por sua vez, desempenham um papel essencial, se bem que longe de absoluto, na determinação do fenótipo do organismo. 

A biologia do desenvolvimento estuda o processo pelo qual os organismos crescem e se desenvolvem. Confinada originalmente àembriologia, nos nossos dias estuda o controle genético do crescimento e diferenciação celular e da morfogénese, o processo que dá origem aos tecidos, órgãos e àanatomia em geral. Entre as espécies privilegiadas nestes estudos encontram-se o nemátode Caenorhabditis elegans, a mosca-do-azeite Drosophila melanogaster, o peixe-zebra Brachydanio rerio ou Danio rerio, o camundongo Mus musculus, e a erva Arabidopsis thaliana.

O sistema de classificação dominante é conhecido como taxonomia lineana, que inclui conceitos como a estruturação em níveis e a nomenclatura binomial. A atribuição de nomes científicos a organismos é regulada por acordos internacionais como o Código Internacional de Nomenclatura Botânica (ICBN), o Código Internacional de Nomenclatura Zoológica (ICZN), e o Código Internacional de Nomenclatura Bacteriana (ICNB). Um esboço dum código único foi publicado em 1997 numa tentativa de uniformizar a nomenclatura nas três áreas, mas que parece não ter sido ainda adoptado formalmente. O Código Internacional de Classificação e Nomenclatura de Vírus (ICVCN) não foi incluído neste esforço de uniformização.

A ecologia estuda a distribuição e a abundância dos organismos vivos, e as interações dos organismos entre si e com o seu ambiente. O ambiente de um organismo inclui não só o seu habitat, que pode ser descrito como a soma dos fatores abióticos locais tais como o clima e a geologia, mas também pelos outros organismos com quem partilha o seu habitat. Os sistemas ecológicos são estudados a diferentes níveis, do individual e populacional ao do ecossistema e da biosfera. A ecologia é uma ciência multidisciplinar, recorrendo a vários outros domínios científicos.

A etologia estuda o comportamento animal (com particular ênfase nos animais sociais como os primatas e os canídeos) e é por vezes considerada um ramo da zoologia. Uma preocupação particular dos etólogos prende-se com a evolução do comportamento e a sua compreensão em termos da teoria da seleção natural. De certo modo, o primeiro etólogo moderno foi Charles Darwin, cujo livro The expression of the emotions in animals and men^] influenciou muitos etólogos.