Cálculo Numérico Semana 01

Um dos exercícios da tarefa de matemática de Pedro é determinar o valor da raiz de 3 com uma precisão de 0,000001. Ou seja: o erro entre o valor exato e o aproximado deve ser dessa magnitude.

Para realizar a tarefa Pedro comprou uma nova calculadora que realiza somente operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. O visor da calculadora mostra 8 posições para os dígitos numéricos, mas o manual diz que o processador trabalha com álgebra de ponto flutuante de 4 algarismos significativos. Isto indica que os 4 últimos dígitos não são corretos.

Buscando mais informações sobre a calculadora na internet, soube que os 4 últimos dígitos são preenchidos por sorteio, sempre que o valor numérico exija uma representação com mais de 4 dígitos. Por exemplo, os números:

0,0001234 0,001234 0,01234 0,1234 1,234 12,34 123,4 1234

possuem representação exata, mas qualquer valor com mais de 4 dígitos, 12345 teria seu último dígito preenchido por sorteio.

Usando essa calculadora ele conseguirá resolver a questão da tarefa? Explique.

Pedro tem condição de resolver a tarefa com a sua calculadora. Porque se tentarmos encontrar uma aproxima ção para a raiz de 3 utilizando uma calculadora que tem operações elementares, ou seja, não h á uma tecla para o c álculo de raí zes quadradas. Isso já seria um problema. Então ele teria que

multiplicar um n úmero por ele mesmo a fim de encontrar algumas aproxima ções.

Pode-se digitar 8 algarismos e, quando efetuado alguma opera ção temos certeza de que s ó os quatro primeiros estão corretos, devido ao erro absoluto visto na aula 01.

Sabendo que a raiz de 1 = 1 e a raiz de 4 = 2, logo, a raiz de 3 est á compreendida no intervalo de 1 e 2. Multiplicando valores, temos:

Raiz Radicando

1 1,5 1, 5 x 1, 5 = 2, 25

2 1,7 1, 7 x 1, 7 = 2, 89

3 1,8 1, 8 x 1, 8 = 3, 24

4 1,75 1, 75 x 1, 75 = 3, 0626

5 1,73 1, 73 x 1, 73 = 2, 9929

6 1,735 1, 735 x 1, 735 = 3, 010225

7 1,732 1, 732 x 1, 732 = 2, 999824

8 1,7321 1, 7321 x 1, 7321 = 3, 0001704

9 1,73205 1, 73205 x 1, 73205 = 2, 9999972

10 1,732051 1, 732051 x 1, 732051 = 3, 0000006

11 1,7320507 1, 7320507 x 1, 7320507 = 2, 9999996

12 1,7320509 1, 7320509 x 1, 7320509 = 3, 0000003

Podemos ver que os d ígitos na cor verde seriam sorteados pela calculadora, conforme o erro absoluto. O seguinte erro absoluto entre a faixa 8 e a 12 é: raiz de 3 = 1,7320508

Ea = 1,7320508 􀀀- 1,7321 = 0,0000492

Conclui-se que Pedro não estaria dentro da magnitude que a professora estipulou. Entretanto, ele poderia continuar acrescentando mais algarismos na aproxima ção da linha 8, pois sua calculadora representa 8 d ígitos e, na linha 8 tí nhamos utilizado apenas 5 dí gitos. Como

podemos ver, é poss ível ir at é a linha 12 e obter 1,7320509.

Calculando o erro tem-se a raiz de 3 = 1,7320508, onde o Ea = 1,7320508 - 1, 7320509 = 0,0000001